废话不多说直接切入正题，今天咱们来聊聊分形的实现，也就是如何在软件中画出分形~~
这里我会使用虚幻4作为实现的工具，当然你用任何平台和工具都可以，毕竟知道了做法什么软件都是互通的。
在 上一章 中我们科普了分形的基本概念，同时也讲解了曼德勃罗集合和朱利亚集合的算法。理解算法本身很简单，但如果真正涉及到实现的话，会遇到很头疼的问题：
那 就 是 复 数 ！
复数本身其实是由两个维度的数组成，如果我们要在shader中实现复数，就必须将其实部和虚部拆开来算。也就是将二维坐标系中的x对应实部的计算，坐标系y轴的值对应虚数的计算（一般对应的数据就是uv坐标）。
于是我们有了具体思路，那就是将复变函数 Z = Z² + C 因式分解，整合成 Z = a + bi 的形式。下面我们就来一步步讲解这个变换操作。
一、Z = Z² + C 函数分解
首先我们定义：
然后分别替换 Z = Z² + C 中的 Z、C 得：
简化一下：
然后我们将Z替换成：
最后简化得：
我们将实部和虚部分开，就可以得到下面两个等式：
二、曼德勃罗集合实现
公式推出来了，很好，接下来我们就来一步步实现这个效果，打开 ue4 材质编辑器，按照下图所示创建节点，在Custom Node中创建两个变量，其中 n 是循环的次数，C 就是复变函数中的 C ，这里我使用屏幕空间的 uv 作为 C 值输入。
接下来在Custom Node中写入如下代码（不懂看注释）：
// 统一定义一些必要的变量
float x = 0 , y = 0 , xnew , ynew ;
// 将屏幕uv空间缩放至原来的两倍并将0点挪到屏幕中心
C = C * 4 - 2;
// 复变函数循环开始
for (int i = 0; i<n ; i++)
{
// 将上面推导出来的公式运用进去
xnew = x*x - y*y + C.x;
ynew = 2*x*y + C.y;
// 判断迭代后复数的长度是否大于2，如果大于就返回他逃离所用的次数与总次数的比值（这里大于4是因为没有算平方根）
if( xnew*xnew + ynew*ynew > 4 ){
return (float)i / (float)n;
}
// 将函数的结果值赋予函数本身迭代计算
x=xnew;
y=ynew;
}
// 循环完成返回最大次数值（其实可以是1）
return(n);
然后我们就可以得到以下的结果：
三、朱利亚集合实现
根据上面的过程我们知道了曼德勃罗集合的实现方式，而朱利亚集合和曼德勃罗集合只有一 C 之差，为什么这么说呢，看完做法你就知道了。
从 上篇文章 中我们知道朱利亚集合是将位置代入 Z 中，然后改变定值 C 实现的，于是我们还是套用上面曼德勃罗集合的节点，只不过因为这里我们将 C 定义为定值，所以还需要再多设置一个位置的变量将平面上的二维坐标（也就是uv）传入。
和上面很类似是不是，但是这里我将 C 变成了一个定值，而P则作为复平面上点坐标传入的变量。于是我们的代码也需要做一点小调整，不是很大。改动的地方我已经用红色字体标出了（虽然代码红色部分确实不一样了，但是你需要明确知道的是，朱利亚集合图像和曼德勃罗集合图像不同的原因在于 C 的变化，想要温习请看上一章：分形的基础讲解 ）：
// 将屏幕uv空间缩放至原来的两倍并将0点挪到屏幕中心
P = P * 4 - 2;
// 统一定义一些必要的变量
float x = P.x, y = P.y, xnew, ynew;
// 复变函数循环开始
for (int i = 0; i<n ; i++)
{
// 将上面推导出来的公式运用进去
xnew = x*x - y*y + C.x;
ynew = 2*x*y + C.y;
// 判断迭代后复数的长度是否大于2，如果大于就返回他逃离所用的次数与总次数的比值（这里大于4是因为没有算平方根）
if( xnew*xnew + ynew*ynew > 4 ){
return (float)i / (float)n;
}
// 将函数的结果值赋予函数本身迭代计算
x=xnew;
y=ynew;
}
// 循环完成返回最大次数值（其实可以是1）
return(n);
接下来我们应用代码，修改 C 的值就可以看到如下结果：
好的既然分形都画出来了，那本文到这里就结束了吗？
并 没 有！
还记得我们上期说的 Z = Z^n + C 吗？既然在 n = 2 时我们可以化简成上面的形式，那如果 n 不固定呢，我们要怎么去做这个化简操作？
其实是可以化简的！但是可能会比上面化简的操作更加复杂，接下来请各位读者跟着我一起看下去，看看这个带 n 次方的复变函数如何推导成 Z = a + bi 的形式！
四、Z = Z^n + C 函数分解与实现
首先我们还是定义:
然后替换原始复变函数得：
下面我放一张复平面的图片，复平面你可以理解成就是复数的平面直角坐标系，大家可以对着这张图往下看：
这里我们将 x + yi 写成如下形式：
如果我们定义复数与实数轴正方向的夹角为 θ，那么根据三角函数的基础计算原理可以得到：
于是我们代入公式：
看到这里，cosθ+isinθ，是不是联想到了什么？？对！就是大名鼎鼎的欧拉公式！
接下来我们将其替换，可以得到：
有意思的地方来了，如果我们将 θn 看成一个整体，再反向运用一次欧拉公式，就可以得到：
哇这样 n 次方就没有了，感谢欧拉！！！！
这时我们就已经将实部虚部分开了，得到了下面两个公式：
这里我们用反三角函数推导出 θ=atan(y.x) ，而根号 x²+y² 其实就是复数的长度，将结果代入计算得：
这！就是我们最终需要写入代码的公式 ！！！
数学真奇妙 ！！！！！
剩下的实现步骤就很简单了，和上面一样，我们只需要将复变函数替换成我们刚刚算出来的这一套即可，节点设置如下。这里我将迭代次数设置成 times，指数设置成 n，C 依然还是那个 C。
代码时间到，其实具体内容和上面 n=2 时差距并不是很大，只是修改了复变函数部分的算法：
// 统一定义一些必要的变量
float xnew , ynew ;
float2 znew, z = (0,0);
// 将屏幕uv空间缩放至原来的两倍并将0点挪到屏幕中心
C = C * 4 - 2;
// 复变函数循环开始
for (int i = 0; i<times; i++)
{
// 将上面推导出来的公式运用进去，这里整合成float2是为了方便算长度
znew = float2(
cos( atan(z.y/z.x)*n)*pow(length(z),n),
sin ( atan(z.y/z.x)*n)*pow(length(z),n)
)+C;
// 判断迭代后复数的长度是否大于2，如果大于就返回他逃离所用的次数与总次数的比值（这里大于4是因为没有算平方根）
if(length(znew)>4){
return (float)i/(float)times;
}
// 将函数的结果值赋予函数本身迭代计算
z.x=znew.x;
z.y=znew.y;
}
// 循环完成返回最大次数值（其实可以是1）
return(times);
于是我们可以通过改变 n 值使曼德勃罗集合愉快的变化起来了！！
看完本文的推导和实现，相信你已深深感受到数学的美妙，没错数学就是这样一门迷人的学科！其实在这里我还留了一个 n 次方时朱利亚集合的效果没有做，如果你对此感兴趣，可以自己尝试着实现一下~
最后感谢展新大佬在我研究分形时提供的大量支持，没有他的指导我是不可能写出这篇文章的！
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